Методы решения некорректных задач. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.
Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.
Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения. В силу этих особенностей долгое время считалось, что некорректно поставленные задачи не могут иметь практического значения.
Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач. Это позволяет судить о широте рассматриваемого класса задач. Названия глав и приводимые в книге примеры показывают не только широту этого класса задач, но и многообразие их применения. К числу важных задач относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента (включая интерпретацию), задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем.
Одним из существенных этапов обработки является решение задач, неустойчивых к малым изменениям исходных данных. Поэтому не вызывает сомнения необходимость разработки методов решения таких задач. При этом приближенные решения, получаемые по приближенным исходным данным, должны быть устойчивыми к малым изменениям последних.
За последние годы в различных журналах появилось большое количество работ, посвященных этим вопросам. Назрела необходимость написания книги, посвященной методам решения некорректно поставленных задач, в которой в доступной для широкого круга читателей форме излагались бы основные идеи и вопросы, связанные с построением решений таких задач по приближенным данным, устойчивых к малым изменениям последних. Такую книгу мы и предлагаем вниманию читателей.
Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный. В предлагаемой книге мы ограничиваемся, как правило (кроме гл. V и VI), детерминированным подходом. Вероятностный подход рассматривается, например, в работах [69, 70, 95, 107, 133, 137, 138, 190].
В книге развивается метод регуляции построения приближенных решений некорректно поставленных задач, разработанный в [165-170].
Мы не ставили перед собой цели дать обзор имеющейся литературы по некорректно поставленным задачам. Поэтому приводимый в конце книги список литературы не претендует на полноту. Обзор литературы читатель может найти, например, в [130].
Книга предназначается для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также для инженеров и научных работников, интересующихся вопросами математической обработки и прогнозирования экспериментов.
