Многие специальные функции, возникающие в физике и теории уравнений в частных производных, задаются интегралами, зависящими от параметра; таковы фундаментальные решения большинства классических уравнений математической физики, потенциалы Ньютона-Кулона, интегральные преобразования Фурье, гипергеометрические функции, интегралы Фейнмана, начальные данные (обратных) задач томографии, и т.д. Общая конструкция этих интегральных преобразований состоит в следующем. Имеется аналитическое расслоение E → Т, дифференциальная форма w на Е, ограничения которой на слои замкнуты, и семейство контуров интегрирования (циклов) в этих слоях, параметризованное точками базы Т и непрерывно зависящее от этих точек. Тогда интеграл формы w вдоль этих циклов является функцией на базе.
Аналитические и качественные свойства таких функций зависят от монодромии этих циклов, т.е. от естественного действия фундаментальной группы базы в гомологиях слоя: это действие на контурах интегрирования определяет ветвление аналитического продолжения нашей функции.
Изучение этого действия (являющееся чисто топологической задачей) позволяет отвечать на вопросы об аналитическом поведении интегральной функции, в частности, является ли эта функция однозначной или хотя бы алгебры ческой, каковы особые точки этой функции и (отчасти) какова ее асимптотика вблизи этих точек.
